Introducción

El presente documento contiene el reporte de la práctica número 4 ¹ sobre “Diagramas de Voronoi”.,a grandes razgos y sin entrar a profundidad metodologica: Se tiene un area rectangular de $n*n$, discretizado en una rejilla de $n$ cuadrículas por cada eje. En este contenedor se le lanza uniformemente $k$ semillas, las cuales generarán igual número de zonas de voronoi, a dichas semillas se les permite crecer con respecto a que tan cerca se encuentren a una casilla vacia. Teniendo las $k$ zonas creadas en el contenedor, se escoge una zona al azar, donde se comenzará a propagar una fractura en el material. Si la grieta está ubicada en el centro tiene una probabilidad de desplazamiento pero si está cerca a la frontera, su probabilidad de penetración será mayor a la anterior.

Especificaciones computacionales

La presente práctica se realizó en una computadora con procesador Intel(R) Xeon(R) CPU E3-1245 v3 @3.4GHz 3.4GHz, con 16 GB de memoria RAM y 8 núcleos.

Especificaciones experimentales

Se considerán diferentes cuadrículas siendo estás: 40,50,60,70,80,90, mientras que la cantidad de semillas usadas en cada una de las cuadrícula son 12,15,18,21,24,36,48.

Se usaron tres tipos diferentes de generación de semillas.

Bajo una distribución normal con media $\frac{n}{2}$ y varianza $\frac{n}{8}$
Bajo una distribucion Poisson con $\lambda = \frac{1}{5.5n}$
Una mezcla entre exponencial y normal creadas usando las distribuciones acumuladas, mostrada a continuación para mayor claridad.

    s<-seq(from=0, to=10, by=(10/(n/2)))
    aux1<-vector()
    aux2<-vector()
    tr2<-pexp(s)
    for( i in 2: length(tr2))
    {
      aux1[i-1]<-tr2[i]-tr2[i-1]
    }
    s1<-seq(from=-3, to=3, by=(6/(n/2)))
    aux2<-vector()
    tr3<-pnorm(s1)
    for( i in 2:length(tr3) )
    {
      aux2[i-1]<-tr3[i]-tr3[i-1]
    }
    aux2
    aux3<-c(aux1,aux2)

Resultados

Como primer objetivo se estudio de manera sistemática el efecto que el número de semillas y el tamaño de la zona tienen en la distribución de los largos de las grietas que se forman. Las semillas se considerán una microestructura particular del material. En la Figura 1, presenta diferentes crecimientos del material, en donde la zona en color azul celeste asemeja una semilla y dicho material tiene $k$ semillas.

Figura 1. Representación de semillas

En la Figura 2, se muestra como va variando el largo de la grieta con respecto al número de semillas puestas en la rejilla, así como el tamaño de la misma. Para todos los casos se presentarón datos atípicos siendo grietas mayores a 200 unidades metrícas. Con el aumento paulatino de las cuadrículas las grietas tienden a disminuir su tamaño. Este resultado puede estar dado principalmente por el efecto significativo que tiene la cantidad de semillas sobre la cuadrícula, puesto que en la Figura 3, el tamaño de las cajas de vigotes tiende a aumentar si se incrementa $k$. Algo de esperarse por la forma de simular en fenómeno.

Figura 2. Variaciones sin filtro

$Figura 3. Variaciones del largo de la fractura separado por semillas$

Figura 3. Variaciones del largo de la fractura separado por semillas

En la Tabla 1, se presentá la prueba estadística Kruskal-Wallis, la cual apoya las posturas menciondas anteriormente. Siendo en el caso estudiado tanto la variable $n$ y $k$, altamente significativa (valor $p$ <0.05). Dado el caso, si se quiere disminuir el largo de la grieta se recomendaría usar tamaños de cuadrículas grandes y una cantidad de semillas bajas.

Tabla 1. Pruebas estadísticas

Factores	Estadistico KS	Valor $p$
n	358.37	0.000
k	281.26	0.000

Distribución de las semillas de otras formas

En está sección se realiza modificaciones en el código, el cual anteriormente generaba $k$ semillas distribuidas uniformemente en un contenedor $n$ especifico, pero ahora se considerará otros formas de generación de semillas. En la Figura 4, Se presenta la variación del largo de la grieta con respecto al tamaño de la cuadrícula y la cantidad de semillas variando las distribuciones para cada caso. Se ha probado que la griega es altamente sensible al tamaño del contenedor, la cantidad de semillas y pareciera ser también afectada por el tipo de distribución usada en la generación de las semillas. Es de esperarse que si las semillas fueron generadas con una distribución uniforme, el variar las estrategias de generación deberá ser significativo por consiguiente.

$Figura 4. Variaciones del largo de la fractura separado por semillas variando la distribución$

Figura 4. Variaciones del largo de la fractura separado por semillas variando la distribución

En la Tabla 2, se presentá la prueba estadística Kruskal-Wallis, para tener un sustento verás y no especulación gráfica. Dicha prueba apoya las posturas menciondas anteriormente, tanto las variables $n$, $k$ y distribución altamente significativa (valor $p$ <0.05).

Tabla 2. Pruebas estadísticas

Factores	Estadistico KS	Valor $p$
n	103.949	0.000
k	61.9242	0.000
Distri	221.939	0.000

En la Figura 5, se presentá como varia el largo de la grieta considerando solo el tamaño de la cuadrícula por cada distribución. En donde el peor caso se vislumbra en la primera distribución, donde las gráficas de violin tiene mayor aglomeración de datos a comparación de las otras distribuciones.

$Figura 5. Variaciones del largo de la fractura por tamaño de cuadrícula$

Figura 5. Variaciones del largo de la fractura por tamaño de cuadrícula

En la Figura 6, se presenta como van generandose los diferentes diagramas de Voronoi con una rejilla de 1000*1000,En la Figura 7, la rejilla es de 600, finalmente la Figura 8, es de 200. Se van generando exporadicamente los diagramas, como es de esperarse en los dos casos anteriores la longitud de la fractura es afectada significativamente por el tamaño de la rejilla y la cantidad de semillas usadas en la experimentación.

Figura 6. Aparición a lo largo del tiempo de semillas

Figura 7. Tamaño del contenedor de 600

Figura 8. Tamaño del contenedor de 200

Conclusiones

Para poder disminuir el tamaño de las fracturas del material se recomienda tener menor número de semillas para que la propagación de la misma sea dificil. Es claro que para algunos materiales lo que se desea es lo contrario, por seguridad de las personas, generando la necesidad de usar mayor número de semillas para que el material se fracture completamente.

El código que generá los resultados aquí puestos se encuentran en la carpeta: código]↩

Práctica 4

Daniel_Mosquera